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第一章 引言
第一节研究的背景和意义
一、选题的由来
对固定收益证券的定价和对冲主要有两种经典的方法：一种是收益率曲线方法，另外一种是随机利率模型的方法。前者假设固定收益证券的利率函数是常值函数或是已知的，通过贴现理论求出固定收益证券的价格，这种方法适用于一些比较简单的或者线性产品，不适合于比较复杂的金融衍生品定价；后者则设利率变化可以归结为某些随机因素的变化，得到一些著名的利率模型，适合于非线性的合约或者具有选择性条款的合约，这种方法得到的定价模型中含有很多参数，这些参数难以测量与预知，而且利率变化能否归结为布朗运动也是一个值得探讨的问题。Epstetn和Wilmott提供了另外一种角度考虑利率模型以及固定牧益证券定价的问题，他们对利率变量作尽可能少的假设，设利率变化以及利率的变化率分别在一个区间中，通过考察价格的微分，利用Taylor展开和无套利原理推导出了Epstein-Wilmott模型，该模型在固定收益证券定价中有一定的作用，能够计算出固定收益证券最好最坏情形下的价格，但该模型中含有一个非线性的偏微分方程。
Black-Scholes公式是期权定价中的基础，能够得到欧式看涨看跌期权的解析解，金融衍生品定价的基石。但Black-Scholes公式是建立在一定假设基础上的，比如假设无风险利率、波动率为常数，不考虑交易成本，与现实市场不相符合。在这些情形下考虑未定权益的定价问题，得到的定价模型中往往包含有非线性的偏微分方程。例如，Hoggard“al.（四92）在Leland(1985）的基础上考虑了有交易成本的期权定价问题，利用Taylor展开和无套利原理得到了带有交易成本的期权定价模型；Avellaneda(1996）对于固定波动率假设进行了改进，假
设原生资产波动率在一个区间中变动，得到的不确定波动率模型也是非线性偏微分方程；Meyer(2006）在Avellaneda(1996）的基础上得到了更加复杂的非线性偏微分方程。
虽然这些非线性模型比较难以讨论，但由于这些模型考虑的问题与现实市场更加接近，将成为资产定价模型中的一个热点，具有一定的理论和现实意义。对于非线性偏微分方程的讨论没有普遍有效的方法，因此作者将从这些非线性偏微分方程所讨论的金融问题入手，寻找对应的最优控制问题，分别建立最优控制框架，利用最优控制理论推动这些非线性偏微分方程的研究和应用。
